<T->
          Coleo A conquista da 
          Matemtica
          Edio renovada MATEMTICA
          6 ano   

          Jos Ruy Giovanni Jr.
          Benedicto Castrucci

          Impresso Braille em 
          8 partes na diagramao de 
          28 linhas por 34 caracteres, 
          da 1 edio, So Paulo, 
          2009, Editora FTD

          Terceira Parte

          Ministrio da Educao 
          Instituto Benjamin Constant
          Diviso de Imprensa Braille
          Av. Pasteur, 350-368 -- Urca
          22290-240 Rio de Janeiro
          RJ -- Brasil
          Tel.: (21) 3478-4400
          Fax: (21) 3478-4444
          E-mail: ~,ibc@ibc.gov.br~,
          ~,http:www.ibc.gov.br~,
          -- 2011 --
<p>
          Coleo A conquista da 
          Matemtica
          Copyright (C) Jos Ruy 
          Giovanni Jnior e Benedicto Castrucci, 2009 
         
          Gerente editorial
          Silmara Sapiense Vespasiano
          Editora
          Rosa Maria Mangueira
          Coordenador de produo editorial
          Caio Leandro Rios
          Pesquisadoras
          Clia Rosa e Letcia Palaria

          Todos os direitos reservados 
          EDITORA FTD S.A.
          Matriz: Rua Rui Barbosa, 156 -- Bela Vista -- 
          So Paulo -- SP
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          E-mail: ~,exatas@ftd.com.br~,
<p>
                                I
 Sumrio
 
 Terceira Parte

 Unidade 2

 8 -- Potenciao de nmeros 
  naturais :::::::::::::::::: 249
 O quadrado de um nmero :::: 255
 O cubo de um nmero :::::::: 257
 Raiz quadrada exata de um 
  nmero natural :::::::::::: 272
 Resolvendo expresses 
  numricas com todas as 
  operaes ::::::::::::::::: 277
 Calculando potncias com a 
  calculadora ::::::::::::::: 285
 Tratando a informao 
  Grfico de linhas :::::::: 286
 Retomando o que aprendeu ::: 295

 Unidade 3

 Divisibilidade: Divisores  
  e Mltiplos :::::::::::::: 309
 9 -- Noo de 
  divisibilidade :::::::::::: 312
 Encontrando o resto com 
  a calculadora ::::::::::::: 321
 10 -- Critrios de 
  divisibilidade :::::::::::: 326
 Divisibilidade por 2 :::::: 327
 Divisibilidade por 3 :::::: 328
 Divisibilidade por 6 :::::: 330
 Divisibilidade por 4 :::::: 331
 Divisibilidade por 8 :::::: 332
 Divisibilidade por 9 :::::: 334
 Divisibilidade por 5 :::::: 335
 Divisibilidade por 10 ::::: 336
 Tratando a informao 
  Estatstica :::::::::::::: 342
 Um fenmeno estatstico: o 
  estudo de mdias :::::::::: 345
 11 -- Divisores, fatores e
  mltiplos de um nmero 
  natural ::::::::::::::::::: 349
 Quando um nmero  mltiplo 
  de outro :::::::::::::::::: 352
 12 -- Nmeros primos :::::: 367
 Como reconhecer outros 
  nmeros primos? ::::::::::: 371
 13 -- Decomposio em 
  fatores primos :::::::::::: 383

<84>
<ta c. mat. 6 ano>
<T+249>
<R+>
 8 -- Potenciao de nmeros 
  naturais

 Explorando
 
 1. Quantos quadradinhos h em cada figura? Use a multiplicao para calcular?

<F->
a)
 !:::
 r:w:w:w
 r:w:w:w
 h:j:j:j

b)
 !:::::
 r:w:w:w:w:w
 r:w:w:w:w:w
 r:w:w:w:w:w
 r:w:w:w:w:w
 h:j:j:j:j:j

<p>
c)
 !:::::::
 r:w:w:w:w:w:w:w
 r:w:w:w:w:w:w:w
 r:w:w:w:w:w:w:w
 r:w:w:w:w:w:w:w
 r:w:w:w:w:w:w:w
 r:w:w:w:w:w:w:w
 h:j:j:j:j:j:j:j
<F+>

 2. Observe as multiplicaes que voc fez. O que voc pode notar em relao aos fatores de
cada multiplicao?

 3. Use a multiplicao para calcular quantos cubinhos h em cada figura.
 a) _`[Um cubo com 5 cubinhos no comprimento, 5 na altura e 5 na profundidade_`] 
 b) _`[Um cubo com 9 cubinhos no comprimento, 9 na altura e 9 na profundidade_`]
 c) _`[Um cubo com 7 cubinhos no comprimento, 7 na altura e 7 na profundidade_`]

 o Nas multiplicaes que voc fez neste exerccio os fatores so todos iguais?
<R->

<85>
  Considere as situaes a seguir:
<R+>
 1- Como representar matematicamente o nmero de casas de um tabuleiro de xadrez?

 Resolvendo a situao:
 So 8 linhas e 8 colunas de casas.
 Para representar o nmero total de casas, fazemos:
 
 88 -- 2 fatores

 Em Matemtica, existe outra forma de representar
multiplicaes em que todos os
fatores so iguais. Por exemplo, na situao
vista acima (88), a multiplicao
tambm pode ser indicada assim: 82.
 Ento: 88=82.

 2- O prdio onde Jacira mora tem 4 andares. Em cada andar h 4 apartamentos. Para cada
apartamento h 4 vagas na garagem. Como posso representar a quantidade de vagas
na garagem desse prdio?

 A representao do nmero de vagas
pode ser feita assim:

 444 -- 3 fatores

 Ou, de outra maneira: 43.
 Ento: 444=43.

 Os nmeros representados por 82 e 43 so chamados potncias.
<R->

  Voltando  primeira situao...
  Para saber quantas casas h no tabuleiro de xadrez,  s calcular:

 82=88=64 
 88 -- 2 fatores

<R+>
 o O 82  a indicao de uma nova operao, chamada potenciao.
 o O 8, que se repete como fator,  chamado base.
 o O 2, que indica a quantidade de vezes que o mesmo fator se repete,  chamado expoente.
 o O 64, resultado da operao,  chamado potncia.

 82=88=64

 8 -- base
 2 -- expoente
 88 -- 2 fatores
 64 -- potncia (resultado da operao)
<R->

<86>
  Voltando  segunda situao...
  E quantas so as vagas na garagem do prdio onde Jacira mora?

 43=444=64
 444 -- 3 fatores 

<p>
<R+>
 o O 43 indica a operao de potenciao.
 o O 4, fator que se repete,  a base.
 o O 3, que indica a quantidade de vezes que o fator se repete,  chamado expoente.
 o O 64, resultado da operao,  chamado potncia.

 43=444=64

 4 -- base
 3 -- expoente
 444 -- 3 fatores
 64 -- potncia (resultado da operao)
<R->

  Dados dois nmeros naturais a e n (com n>1), a expresso an
representa um produto de n fatores iguais ao nmero a, ou seja:

 an=aaaa...a
 aaaa...a :> n fatores

<p>
 O quadrado de um nmero

  Em an, quando n=2, dizemos que o nmero a est "elevado ao quadrado".
  Veja a representao geomtrica de nmeros elevados ao quadrado.

<R+>
<F->
   !::
1 l  _
   h::j
    1

12=11=1
12 :> lemos: um elevado ao quadrado, ou o quadrado de um, ou um elevado  2 potncia

<p>
   !::::
2 l  _  _
   r::w::w
   l  _  _
   h::j::j
      2

22=22=4
22 :> lemos: dois elevado ao quadrado, ou o quadrado de dois, ou dois elevado  2 potncia

   !::::::
   l  _  _  _
3 r::w::w::w
   l  _  _  _
   r::w::w::w
   l  _  _  _
   h::j::j::j
       3

32=33=9
32 :> lemos: trs elevado ao quadrado, ou o quadrado de trs, ou trs elevado  2 potncia

<p>
   !::::::::
   l  _  _  _  _
   r::w::w::w::w
   l  _  _  _  _
4 r::w::w::w::w
   l  _  _  _  _
   r::w::w::w::w
   l  _  _  _  _
   h::j::j::j::j
        4

42=44=16
42 :> lemos: quatro elevado ao quadrado, ou o quadrado de quatro, ou quatro elevado  2 potncia
<F+>
<R->

 _`[A menina diz_`]
  "Agora eu entendi por que chamamos de "quadrado" quando o expoente  2."

<87>
 O cubo de um nmero

  Em an, quando n=3, dizemos que o nmero a est "elevado ao cubo".
  Veja a representao geomtrica _`[no adaptada_`] de nmeros elevados ao cubo.

<R+>
 _`[Um cubo com arestas igual a 1_`]

 13=111=1
 13 :> lemos: um elevado ao cubo, ou o cubo de um, ou um elevado  3 potncia 

 _`[Um cubo com arestas igual a 2_`]

 23=222=8
 23 :> lemos: dois elevado ao cubo, ou o cubo de dois, ou dois elevado  3 potncia

 _`[Um cubo com arestas igual a 3_`]

 33=333=27
 33 :> lemos: trs elevado ao cubo, ou o cubo de trs, ou trs elevado  3 potncia

 _`[Um cubo com arestas igual a 4_`]

 43=444=64
 43 :> lemos: quatro elevado ao cubo, ou o cubo de quatro, ou quatro elevado  3 potncia 
<R->

  Quando n>3, no temos como representar geometricamente a potncia an. A
leitura fica:
<R+>
 o 24 :> dois elevado  quarta potncia ou a quarta potncia de dois
 o 105 :> dez elevado  quinta potncia ou a quinta potncia de dez
<R->
  ... e assim por diante.

 Observaes importantes sobre a 
  potenciao

<R+>
 o Todo nmero natural elevado a 1  igual a ele mesmo.
 11=1
 21=2
<p>
 31=3
 41=4

 o Todo nmero natural, diferente de zero, elevado a zero  igual a 1.
 10=1
 20=1
 30=1
 40=1

 o Toda potncia de 10  igual ao nmero formado pelo algarismo 1 seguido de tantos zeros
quantas forem as unidades do expoente.
 101=10
 102=1010=100
 103=101010=1.000
 104=10101010=10.000
<R->

  As potncias de base 10 so teis para escrever ou calcular nmeros muito grandes.
  Assim, o raio da Terra, de aproximadamente 6.400.000 metros, 
pode ser indicado por
64105 
<p>
metros porque:
 6.400.000=64100.000=64105 

<88>
 Brasil Real

 wr Cincias/Cidadania

<R+>
 1. Leia as informaes e registre os nmeros destacados usando potncias de base 10.
<R->

  Cada tonelada
equivale a
1.000 quilogramas.

<R+>
 a) O Brasil  um dos trs maiores produtores mundiais de frutas,
com uma produo que supera os 38 milhes de toneladas. Em
2005, a produo de bananas foi de mais de 6.000.000 toneladas,
e a produo de laranjas superou 17.000.000 toneladas.

<p>
 _`[{foto_`]
 Legenda: A laranja  fonte de vitamina C, fsforo, clcio e
ferro. A banana  fonte de vitamina A, C, fibras e
potssio. Mas por que  importante comer frutas
diariamente? Porque essas vitaminas auxiliam
o organismo em suas atividades combatendo
as infeces, ajudando nas cicatrizaes, na
formao de ossos e dentes, e evitando a fadiga
mental, alm de muitas outras funes.
  Aproveite e responda: 
 o Qual a sua fruta preferida? 
 o Quais as frutas produzidas em maior
quantidade em seu Estado?

 Fontes: ~,www.ibraf.org.br~, 
  Acesso em: 24 out. 2006 e
  ~,www.agricultura.gov.br~,
  Acesso em: 22 nov. 2006.

 b) Existem cerca de 180 lnguas indgenas e dialetos sendo praticados no Brasil por
330.000 indgenas, aproximadamente, e por algumas comunidades ribeirinhas do
norte do pas. Nos primeiros anos da colonizao brasileira, calcula-se que havia
cerca de 6.000.000 de indgenas e falava-se cerca de 1.000 lnguas indgenas.

 _`[Foto_`]
 Legenda: As comunidades ribeirinhas so povoados localizados  margem dos rios. Na regio amaznica
brasileira, esses povoados esto localizados principalmente nos rios Negro, Amazonas e Solimes
e seus afluentes. Essas comunidades so constitudas de famlias de baixa renda, algumas com
ascendncia indgena, outras vindas das cidades.

 Fonte: ~,www.labeurb.unicamp.br~,
  Acesso em: 24 nov. 2006.

<89>
<p>
 wr Geografia

 2. Observe os dados da tabela e descubra a qual capital se refere cada afirmao
a seguir.
<R->

 _`[Tabela adaptada_`]
 Alguns dados sobre capitais 
  brasileiras

 Cidade: Belm
  Jornais dirios: 03
  Bibliotecas pblicas: 12
  Museus: 06
  Cinemas: 10

 Cidade: Belo Horizonte
  Jornais dirios: 06
  Bibliotecas pblicas: 09
  Museus: 08
  Cinemas: 21 

 Cidade: Braslia
  Jornais dirios: 02
  Bibliotecas pblicas: 13
  Museus: 25
  Cinemas: 52 

 Cidade: Curitiba
  Jornais dirios: 08
  Bibliotecas pblicas: 51
  Museus: 18
  Cinemas: 20 

 Cidade: Fortaleza
  Jornais dirios: 04
  Bibliotecas pblicas: 01
  Museus: 25
  Cinemas: 07 

 Cidade: Goinia
  Jornais dirios: 02
  Bibliotecas pblicas: 02
  Museus: 03
  Cinemas: 19 

 Cidade: Manaus 
  Jornais dirios: 04
  Bibliotecas pblicas: 03
  Museus: 07 
  Cinemas: 13 

<p>
 Cidade: Recife
  Jornais dirios: 04
  Bibliotecas pblicas: 03
  Museus: 16
  Cinemas: 24 

 Cidade: Rio de Janeiro
  Jornais dirios: 11
  Bibliotecas pblicas: 22
  Museus: 77
  Cinemas: 118

 Cidade: Salvador
  Jornais dirios: 04
  Bibliotecas pblicas: 05
  Museus: 08
  Cinemas: 25 

<R+>
 Fonte: ~,www.portalbrasil.~
  eti.br~, Acesso em: 24 out. 2006.

 a)  a cidade que tem como nmero de jornais dirios o cubo de 2.
 b) O nmero de bibliotecas pblicas dessa cidade  o 3 ao quadrado.
 c) Capital cujo nmero de cinemas  o sxtuplo do quadrado de 2.
 d) O quadrado de 5  o nmero de museus de uma cidade.
 e)  a cidade que tem como nmero de cinemas o 5 ao quadrado.

 Exerccios

 1. Registre no caderno a expresso "um produto
de quatro nmeros iguais a cinco" das
duas maneiras diferentes que voc aprendeu. Quais so essas maneiras?
 2. Escreva no caderno de outra maneira a expresso
a seguir, usando apenas os nmeros 20
e 9.

 202020...20 -- 9 fatores

 3. Calcule:
 a) 25 
 b) 37 
 c) 110 
 d) 150 
 e) 0100 
 f) 106

 4. Usando o smbolo > ou <, compare as potncias:
 a) 52 e 25 
 b) 74 e 103 
 c) 43 e 29
 d) 110 e 101

 5. Usando algarismos, represente de duas maneiras
diferentes o nmero de moedas da figura.

 _`[{desenho de: 4 moedas de 50 centavos, 4 moedas de 10 centavos, 4 moedas de 5 centavos e 4 moedas de 1 centavo_`]

 6. Represente geometricamente:
 a) 52 
 b) 82 
<p>
 c) 102 
 d) 112

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

 7. Se voc elevar o nmero 6 a um expoente n,
encontrar 216. Qual  o valor do expoente n?

<90>
 8. Uma das provas da gincana da escola foi descobrir
o valor de alguns nmeros naturais. Ser
que alguma resposta est errada?

 _`[{figuras adaptadas_`]

 a) O menino diz: "O quadrado de 50  2.500."
 b) Outro menino diz: "O cubo de 9  729."
 c) A menina diz: "A stima potncia de 2  128."
 d) Outra menina diz: "A quinta potncia de 1  1."
<p>
 e) Mais uma menina diz: "O quadrado de 32  1.024."

 9. Escreva no caderno em forma de potncia:

 (Cada quadradinho representa 1)

<F->
a)
!:::::::
r:w:w:w:w:w:w:w
r:w:w:w:w:w:w:w
r:w:w:w:w:w:w:w
r:w:w:w:w:w:w:w
r:w:w:w:w:w:w:w
r:w:w:w:w:w:w:w
h:j:j:j:j:j:j:j
<F+>

 b) _`[Um cubo com arestas igual a 6_`]

 (Cada cubinho representa 1) 

 10. Se o valor de uma potncia de 10 
100.000, qual  o expoente dessa potncia?

<p>
 11. Voc pode afirmar que as expresses a seguir
representam a mesma quantidade? Justifique.

 132 
 122+52

 12. Primeiro calcule. Depois, escreva os resultados
no caderno por extenso:
 a) 4107 
 b) 9105 
 c) 106
 d) 2103

 wr Cincias

 13. Sabe-se que a velocidade da
luz no vcuo  de 3108 metros por segundo, e
1.000 metros equivale a 1 quilmetro. Quantos
quilmetros a luz percorre em um segundo?

<p> 
 wr Cincias

 14. Utilizando potncias de dez,
represente os nmeros destacados nas frases
a seguir:
 a) A distncia da Terra  Lua , aproximadamente, *400.000* km.
<91>
 b) Uma pessoa tem de *120 mil* a *150 mil* fios de cabelo.
 c) Na Floresta Amaznica j foram registradas *2.500* espcies de rvores.
 d) O corao humano d *100 mil* batidas por dia, *3 milhes* por ms e *37 milhes* por ano.

 Raiz quadrada exata de um nmero natural
<R->

  O 5  o nmero natural que elevado ao quadrado d 25 (52=55=25).
  Nesse caso, a operao que estamos efetuando  denominada
radiciao. 

 O smbolo da raiz quadrada  .

  No nosso exemplo, fizemos a extrao da raiz quadrada de 25.
  Indicamos assim:

 25=5 :> l-se: raiz quadrada 
  de vinte e cinco  igual a cinco
 25=5 :> operao: radiciao

  Observe que as sentenas 25=5 e 52=25 so equivalentes, isto :

 25=5 <:> 52=25

  Determinar a raiz quadrada de um nmero natural  encontrar outro nmero natural que
elevado ao quadrado seja igual ao nmero dado.

 Exemplos:
 o 9=3, pois 32=9.
 o 144=12, pois 122=144.

<p>
 Observaes:
<R+>
 o Nem todo nmero natural  quadrado de outro. O nmero 7, por exemplo, no  quadrado
de nenhum nmero natural.
 o Os nmeros naturais que so quadrados de outros denominam-se nmeros quadrados
perfeitos, e somente eles possuem razes quadradas exatas no conjunto dos nmeros
naturais. So quadrados perfeitos, por exemplo, os nmeros: 

 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100...

<92>
 o A medida do lado do quadrado representa a raiz quadrada da rea do quadrado.
<R->

 Exemplos:

  A raiz quadrada de 16 equivale  medida
do lado desse quadrado, no caso, 4.

<p>
<F->
       4
   !::::
   r:w:w:w:w
4 r:w:w:w:w
   r:w:w:w:w
   h:j:j:j:j
<F+>

 16=4
 16 -- rea do quadrado
 4 -- medida do lado

  A raiz quadrada de 36 equivale  medida
do lado desse quadrado, no caso, 6.

<F->
         6
   !::::::
   r:w:w:w:w:w:w
   r:w:w:w:w:w:w
6 r:w:w:w:w:w:w
   r:w:w:w:w:w:w
   r:w:w:w:w:w:w
   h:j:j:j:j:j:j
<F+>

 36=6
 36 -- rea do quadrado
 6 -- medida do lado

 Exerccios

<R+>
 1. Um nmero elevado ao quadrado resulta 81.
 a) Qual  esse nmero?
 b) O que esse nmero representa em relao a 81?

 2. Calcule:
 a) 4 
 b) 49 
 c) 64 
 d) 121
 e) 144
 f) 225

 3. Observe os nmeros a seguir e identifique
os que so chamados de quadrados perfeitos.
 
 2 9 16 22 30 36 41 49 50 64

<p>
 4. Antnio  um pintor experiente.
<R->

 _`[Antnio diz_`]
  "Com uma lata de tinta, pinto um quadrado de 169 metros quadrados."

<R+>
 o Qual  a medida, em metros, do lado desse
quadrado?

 Resolvendo expresses numricas com todas as operaes
<R->

  Para calcular o valor de uma expresso numrica em que apaream raiz quadrada,
potenciao, diviso, multiplicao, adio e subtrao, efetuamos essas operaes na
seguinte ordem:
<R+>
 o primeiro as potenciaes e as razes quadradas, obedecendo  ordem em que aparecerem
(da esquerda para a direita);
<p>
 o depois, as divises e as multiplicaes, na ordem em que aparecerem (da esquerda para
a direita);
 o finalmente, as adies e as subtraes, na ordem em que aparecerem (da esquerda para
a direita).
<R->
  No podemos esquecer, ainda, que operaes no interior dos parnteses devem ser
resolvidas antes, obedecendo  ordem estabelecida acima.

<R+>
<93>
  Acompanhe os exemplos.

 a) 244+3210=
  =164+910=
  =4+90=
  =94

 b) 642-100=
  =82-1=
  =4-1=
  =3

<p>
 c) (122+1)(54-72)-33=
  =(144+1)(54-49)-27=
  =1455-27=
  =29-27=
  =2

 Exerccios

 1. Um nmero natural N  expresso por 412-312+
  +212. Qual  a soma dos algarismos que formam o nmero N?
 2. Qual  o nmero natural expresso por 302`(72
  3-102-2`)?

 3. Encontre o valor das expresses:
 a) 72-40+1832-100
 b) (62-52)33-102
 c) 62(23+1)(32-5)
 d) (73+112)103
 e) (732-1)(82-231)

<p>
 4. Resolva, no caderno, as expresses a seguir
e compare os valores obtidos em cada uma.
 a) 25+42-233
 b) (25+42-23)3
 c) 25+(42-23)3

 5. Determine o quadrado do valor numrico
de `(34-26-
  -100)(52-23).

 Brasil real

 wr Histria

 1. O primeiro telefone do 
  Brasil foi instalado na cidade do Rio de Janeiro, um ano aps Alexandre
Graham Bell anunciar a inveno do aparelho.
 a) O valor da expresso 812102+1922 indica o ano em que Graham Bell tornou pblica
a sua inveno. Que ano  esse? A que sculo ele pertence?
<p>
 b) Pesquise em que ano foi instalado o primeiro telefone em nosso pas.
 c) Na sua opinio, qual a importncia da inveno de Graham Bell?

<94>
 wr Esporte

 2. De 1930 a 1970, a Taa 
  Jules Rimet era dada ao campeo de cada edio da
Copa do Mundo. A taa recebeu esse nome em 1946, em homenagem ao presidente da FIFA,
responsvel pela 1 edio do torneio.
<R->

  A seleo brasileira, aps conquistar a Copa do
Mundo pela terceira vez, em 1970, ganhou o direito
de ter a posse permanente dessa taa, que foi roubada
13 anos depois.

<p>
<R+>
 a) Qual das seguintes expresses numricas tem o
valor correspondente ao ano em que a taa recebeu
o nome de Jules Rimet?
 o (236)2+23`(103
  22)-(342+144)
 o 112-100+54`(9
  3)0+(15-408)3+210

 b) Em que ano a Taa Jules Rimet foi roubada no
Brasil?
 c) Depois de 1970, foi criada uma nova taa, denominada
Taa da Copa do Mundo FIFA, mas ela
no ir para seleo alguma, independentemente
do nmero de ttulos. Ela ser trocada quando no
couber mais nomes de campees na placa que fica
em sua base. Resolva a expresso a seguir e descubra
em que ano isso ocorrer.

 (210-25)4

<p>
 d) Quantas vezes o Brasil conquistou a nova taa
at 2006? Justifique sua resposta.

 _`[Foto da "Taa da Copa do Mundo FIFA"_`]
 Legenda: A FIFA foi fundada em Paris, em 21 de
maio de 1904, e tem sede em Zurique,
na 
  Sua. *A Fdration 
  Internationale
de Football Association*, do francs,
Federao Internacional de Futebol, dirige
as associaes de futebol de todo o
mundo. Fazem parte da FIFA 217 pases
e/ou territrios.

 wr Histria

 3. Se voc calcular o valor da expresso 5202-103
  52+32, encontrar um
nmero que corresponde ao ano em que o primeiro homem pisou na superfcie da Lua.
<p>
 a) Voc nasceu quantos anos depois desse fato?
 b) Pesquise: Em que ano o primeiro astronauta brasileiro foi para a Lua?

 _`[Foto do Astronauta Marcos Pontes_`]
 Legenda: O astronauta brasileiro Marcos Pontes nasceu em 11 de maro de 1963, na cidade de
Bauru, So Paulo. Estudou em escolas pblicas, fez curso de formao profissional em
eletricidade, promovido pela Rede Ferroviria Federal (RFFSA) e Servio Nacional da
Indstria (SENAI). Trabalhava e aprendia a profisso de eletricista das 8 s 17 horas. 
noite, estudava em colgio profissionalizante, no curso de tcnico em eletrnica.
  Em 1981, entrou para o concorrido curso da Academia da Fora Area: era o incio da
sua jornada para tornar-se o primei-
<p>
  ro astronauta e cosmonauta 
brasileiro.

 Fonte: ~,www.marcospontes.net~, 
  Acesso em: 24 nov. 2006.
<R->

<95>
 Calculando potncias com a 
  calculadora

   simples calcular potncias usando uma calculadora!

  Para calcular 34  s teclar:

 3333=81

  Em algumas calculadoras tambm  possvel
calcular 34 assim:

 3===

  Isto , a operao "multiplicar por 3"  fixada teclando-se:

 3

  Depois, basta acionar por mais 3 vezes a tecla = para obter o valor de 34.

 Chegou a sua vez!

  Utilizando a calculadora, calcule:
 a) 56 
 b) 65 
 c) 97 
 d) 79 
 e) 210 
 f) 220

 Tratando a informao

 Grfico de linhas
 
  Voc sabia que o total de seres humanos no planeta s atingiu o seu primeiro bilho no final
do sculo XVIII?
  Em 2005, a populao mundial era de aproximadamente
6 bilhes e 500 mil pessoas. Estima-se que,
a cada ano, a populao mundial cresa em 75 milhes
de seres humanos e que em 2054 atinja 9 bilhes
de pessoas.
  Veja, no grfico "A populao do planeta em nmeros",
a evoluo da populao mundial de 1800 a
2054 (estimada).
  Grficos desse tipo so conhecidos como grficos
de linhas.

<R+>
 _`[Grfico adaptado_`]
 *A populao do planeta em nmeros*

 Evoluo (em bilhes de 
  habitantes)
<R->

 Legenda: 
 A -- 1800
 B -- 1930 
 C -- 1960
 D -- 1987
 E -- 2005
 F -- 2054

<p>
<F->
  9 pcccccccccccccccccccccc
     l                      
     l                      
     l                      
     l                      
6,5 pcccccccccccccccccc  
     l                    
     l                    
  5 pcccccccccccccc    
     l                  
     l                  
     l                  
  3 pcccccccccc      
     l                            
  2 pcccccc          
     l              
     l              
  1 pcc          
     l            
     r::gg::gg::gg::gg::gg::gg::
        A  B  C  D  E  F
<F+>

<R+>
 Fonte: *Folha de S. Paulo*, So Paulo, 25 jun. 2005.
<R->

<96>
  A seguir, veja outro exemplo desse tipo de grfico.
  Todos ns sabemos que o futebol  a grande paixo dos brasileiros. No que outros esportes no
venham alcanando resultados significativos, como, por exemplo, o vlei masculino e o feminino.
  Dos grandes torneios de futebol que os vrios clubes disputam anualmente, um dos mais cobiados
 a Libertadores da Amrica.
  Nessa competio, Brasil e Argentina so pases que mais se destacam.
  Veja no grfico a seguir o registro da participao desses pases nas oitavas de final desse torneio.

<p>
<R+>
 _`[Grfico adaptado_`]
 *Donos da Amrica*
 Brasileiros e argentinos nas oitavas da Libertadores (Desde a escolha do sistema de disputa usado hoje)

 Legenda:
 Va -- Na cor verde e azul: Somando Brasil e Argentina
 Ve -- Na cor verde: Apenas times brasileiros

<p>
 !:::::::::::::::::
 l       _ Ve _ Va _
 r:::::::w:::::w:::::w
 l 1988 _ 1  _ 3  _
 r:::::::w:::::w:::::w
 l 1989 _ 2  _ 4  _
 r:::::::w:::::w:::::w
 l 1990 _ 1  _ 3  _
 r:::::::w:::::w:::::w
 l 1991 _ 2  _ 3  _
 r:::::::w:::::w:::::w
 l 1992 _ 2  _ 4  _
 r:::::::w:::::w:::::w
 l 1993 _ 2  _ 3  _
 r:::::::w:::::w:::::w
 l 1994 _ 3  _ 4  _
 r:::::::w:::::w:::::w
 l 1995 _ 2  _ 5  _
 r:::::::w:::::w:::::w
 l 1996 _ 3  _ 5  _
 r:::::::w:::::w:::::w
 l 1997 _ 2  _ 5  _
 r:::::::w:::::w:::::w
 l 1998 _ 3  _ 5  _
 r:::::::w:::::w:::::w
 l 1999 _ 3  _ 5  _
 h:::::::j:::::j:::::j

 Continuao do grfico 

 !:::::::::::::::::
 l       _ Ve _ Va _
 r:::::::w:::::w:::::w
 l 2000 _ 4  _ 7  _
 r:::::::w:::::w:::::w
 l 2001 _ 4  _ 7  _
 r:::::::w:::::w:::::w
 l 2002 _ 2  _ 4  _
 r:::::::w:::::w:::::w
 l 2003 _ 4  _ 7  _
 r:::::::w:::::w:::::w
 l 2004 _ 4  _ 7  _
 r:::::::w:::::w:::::w
 l 2005 _ 4  _ 7  _
 r:::::::w:::::w:::::w
 l 2006 _ 5  _ 9  _
 r:::::::w:::::w:::::w
 l 2007 _ 5  _ 7  _
 r:::::::w:::::w:::::w
 l 2008 _ 5  _ 10 _
 h:::::::j:::::j:::::j

 Fonte: ~,www.uol.com.br~,
  Acesso em: 1 out. 2008.

<p>
 Chegou a sua vez!

 1. Observando o grfico "Donos da Amrica", responda:
 a) No grfico, qual a cor da linha que representa:
 o apenas os times brasileiros?
 o os times brasileiros e argentinos?
 o apenas os times argentinos?

 b) Em 2008, quantos times argentinos participaram do torneio?
 c) Em quais anos a Argentina teve maior representao de times em relao ao Brasil?

 2. No grfico a seguir esto representados os gols marcados e os gols sofridos por uma equipe de
futebol nas dez primeiras partidas de um determinado campeonato.

<p>
 _`[Grfico adaptado *Pontuao das dez primeiras partidas de futebol* em trs colunas: Partidas -- Gols marcados -- Gols 
sofridos_`]
<R->
 1 partida -- 2 -- 0
 2 partida -- 1 -- 4
 3 partida -- 3 -- 3
 4 partida -- 0 -- 5
 5 partida -- 2 -- 1
 6 partida -- 3 -- 1
 7 partida -- 2 -- 2
 8 partida -- 1 -- 0
 9 partida -- 0 -- 0
 10 partida -- 3 -- 0
<F+>

  Nesse campeonato, as equipes ganharam 3 pontos a cada vitria, 1 ponto por empate e 0 ponto em
caso de derrota. Ao final da d-
cima partida, a equipe em questo acumulou quantos pontos?

<97>
<p>
 Retomando o que aprendeu

  Responda s questes em seu caderno.
<R+>
 1. (Saresp) Paulo consegue fazer uma mdia
de 3 exerccios de Matemtica em 10 minutos.
Hoje, a professora passou 6 exerccios.
Quanto tempo Paulo deve gastar para fazer
a tarefa?
 a) 5 minutos.
 b) 10 minutos.
 c) 20 minutos.
 d) 40 minutos.

 2. Isabel foi a uma feira de animais e comprou
8 pintinhos. Cada um custou 2 reais. 
  Isabel
tinha 2 notas de 20 reais. Com quanto Isabel
ficou?
 a) 14 reais.
 b) 24 reais.
 c) 34 reais.
 d) 40 reais.

<p>
 3. Considere as sequncias numricas `(1, 4, 7,
10, ..., 40) e (8, 12, 16, 20, ..., 52). O nmero de
termos comuns a essas duas sequncias :
 a) 2 
 b) 3 
 c) 4 
 d) 5 
 e) 6

 4. (Saresp) Paulo deseja distribuir 60 bolas de
gude de maneira que todos os favorecidos recebam
a mesma quantidade, sem sobrar nenhuma
bolinha. Para qual dos grupos a seguir ele
poder fazer corretamente a distribuio?
 a) Seus 6 primos.
 b) Seus 7 sobrinhos.
 c) Seus 8 vizinhos.
 d) Seus 11 colegas.

 5. Calcule o quadrado do nmero 6 e o cubo
do nmero 4. Com a soma dos dois resultados,
voc encontra um nmero natural. Qual  a
raiz quadrada desse nmero?
 a) 8 
 b) 9 
 c) 10 
 d) 12 
 e) 15

 6. Qual  o valor da expresso
(43+42+4)7+2
  (3+32+33)?
 a) 80 
 b) 90 
 c) 85 
 d) 95 
 e) 100

 7. (Saresp) Tenho 1.320 figurinhas. Meu primo
tem a metade do que tenho. Minha irm tem
o triplo (ou trs vezes) das figurinhas do meu
primo. Quantas figurinhas minha irm tem?
 a) 1.900 
 b) 1.930 
 c) 1.940 
 d) 1.980

 8. (Vunesp-SP) Um determinado medicamento
deve ser ministrado a um doente trs vezes por
dia, em doses de 5 mililitros cada vez, durante
10 dias. Se cada frasco contm 100 mililitros do
medicamento, quantos frascos so necessrios?
 a) 1 
 b) 2 
 c) 3 
 d) 4 
 e) 5

 9. A tabela a seguir indica a sequncia
de teclas digitadas em uma calculadora (da esquerda
para a direita) e o resultado apresentado
no visor aps a sequncia.

<p>
<F->
 pcccccccccccccccccccccccccc
 l sequncia de _ resultado  _
 l  teclas      _   no visor _
 r::::::::::::::w::::::::::::w
 l 2+3=       _ 5         _
 r::::::::::::::w::::::::::::w
 l 2+3==      _ 8         _
 r::::::::::::::w::::::::::::w
 l 2+3===     _ 11        _
 r::::::::::::::w::::::::::::w
 l '''          _ '''        _
 v--------------#------------# 
<F+>

 Se digitarmos 2+3 seguido de 10 vezes a
digitao da tecla =, qual  o nmero que vamos
obter?
 a) 23 
 b) 26 
 c) 29 
 d) 32 
 e) 35

 10. Joozinho resolveu vrias operaes
utilizando uma calculadora e encontrou os resultados
a seguir.

 _`[Tabela adaptada_`]
 Legenda: 
 Coluna A: Nmero das operaes
 Coluna B: Nmeros digitados na calculadora
 Coluna C: Resultado

 !:::::::::::::::::::::::::
 l A  _     B     _   C   _
 r:::::w::::::::::::w::::::::w
 l 1 _ 838 162  _ 1.000 _
 r:::::w::::::::::::w::::::::w
 l 2 _ 160 15   _ 2.400 _
 r:::::w::::::::::::w::::::::w
 l 3 _ 3.600 2  _ 1.800 _
 r:::::w::::::::::::w::::::::w
 l 4 _ 1.864 17 _ 1.847 _
 h:::::j::::::::::::j::::::::j
<R->

<98>
  A ordem das teclas que ele apertou para
chegar a esses resultados foi:
 a) +   -
 b) + -  
 c) +  - 
 d) - +  

<p>
<R+>
 11. (Saresp) Fernanda, Rita, Paula e Marcos
gostam de jogar "O jogo da memria" e combinaram
que as fichas para as jogadas valem:

 _`[Fichas adaptadas_`]
 Legenda:
 o -- 16 pontos
  -- 32 pontos
 y -- 64 pontos

 As partidas foram registradas em uma tabela, e o resultado final foi:

 !:::::::::::::::::::::::
 l Jogador  _ o _  _ y _
 r:::::::::::w::::w::::w::::w
 l Fernanda _ 1 _ 1 _ 3 _
 r:::::::::::w::::w::::w::::w
 l Rita     _ 1 _ 1 _ 1 _
 r:::::::::::w::::w::::w::::w
 l Paula    _ 1 _ 0 _ 2 _
 r:::::::::::w::::w::::w::::w
 l Marcos   _ 1 _ 0 _ 4 _
 h:::::::::::j::::j::::j::::j

 Assinale a alternativa que indica a contagem
de pontos correta.
 a) Fernanda -- 192 pontos.
 b) Rita -- 60 pontos.
 c) Paula -- 104 pontos.
 d) Marcos -- 272 pontos

 Brasil real

 wr Geografia/Cincias/
  /Cidadania

 1. Observe o mapa de casos de dengue no Brasil em 2007.

 _`[Mapa: "Dengue no Brasil (2007)" adaptado_`]
 Legenda: 
 Na cor verde: at 500 casos 
 Na cor amarela: de 501 a 
  2.000 casos
 Na cor laranja: de 2.001 a 
  5.000 casos
 Na cor vermelha: acima de 
  5.000 casos

<p>
 Estados: Regio Norte
 verde: AM, AC, RO. 
 amarelo: RR, PA, AP
 laranja: TO

 Estados: Regio Nordeste
 verde: RN, AL, SE
 amarelo: CE, PB, PI, BA
 laranja: PE, MA

 Estados: Regio Centro-Oeste
 amarelo: DF, GO
 vermelho: MT, MS

 Estados: Regio Sudeste
 amarelo: ES
 laranja: MG, SP, RJ

 Estados: Regio Sul
 verde: SC, RS
 laranja: PR

 Fonte: ~,http:portal.saude.~
  gov.br~, Acesso em: 1 out. 2008.

<p>
 _`[Foto: "Mosquito Aedes aegypti". Mede at 6 mm de comprimento_`]
 Legenda: O mosquito transmissor da dengue
 o *Aedes aegypti*. Acabar com a
dengue depende da colaborao
de todos, j que o mosquito
prolifera-se facilmente em locais
de acmulo de gua. Deixar as
caixas-d'gua tampadas, os
pratinhos de vasos de flores e de
plantas secos, guardar garrafas
com a boca virada para baixo
e no deixar pneus jogados ao
relento so medidas simples que
todos podem fazer para ajudar a
erradicar a doena.

<99>
 a) Quantos estados brasileiros apresentaram
at 500 casos de dengue, em 2007?
 b) Dois desses estados pertencem  regio
Sul. Quais so eles?
 c) Na regio Sudeste, trs estados apresentaram
de 2.001 a 5.000 casos. Quais so
esses estados?
 d) O estado da Bahia est entre os que apresentaram
quantos casos de dengue, em
2007?
<R->

  Conhea alguns sintomas da dengue:
<R+>
 o Dor de cabea;
 o Dor nos olhos;
 o Febre alta, muitas vezes passando de
40 graus;
 o Dor nos msculos e nas juntas;
 o Manchas avermelhadas por todo o corpo;
 o Falta de apetite;
 o Fraqueza;
 o Em alguns casos, sangramento de
gengiva e nariz.

 wr Geografia

 2. Veja algumas informaes comparativas a respeito das regies brasileiras,
de acordo com dados fornecidos pelo IBGE, Funai -- Fundao Nacional do ndio e Ministrio
dos Transportes:

<F->
_`[Quadro adaptado_`]
Dados comparativos, por 
  regio, em 2005

Norte
  rea (km2) (*): 3.853.327
  N.o de municpios: 449
  Populao indgena: 191.094
  Frota de veculos: 1.371.236
Centro-Oeste
  rea (km2): 1.606.372
  N.o de municpios: 466
  Populao indgena: 85.284
  Frota de veculos: 3.349.405
Nordeste
  rea (km2): 1.554.257
  N.o de municpios: 1.793
  Populao indgena: 116.436
  Frota de veculos: 4.919.940
Sudeste
  rea (km2): 924.511
  N.o de municpios: 1.668
  Populao indgena: 14.758
  Frota de veculos: 21.509.157
<p>
Sul
  rea (km2): 576.410
  N.o de municpios: 1.188
  Populao indgena: 32.982
  Frota de veculos: 8.708.546
<F+>

 Fontes: IBGE, FUNAI, 
  Ministrio dos Transportes.
  (*) km2 significa quilmetro quadrado

 a) Qual  a regio brasileira que tinha, em 2005:
 o maior rea, em quilmetros quadrados?
 o maior nmero de municpios?
 o maior populao indgena?
 o maior frota de veculos?

 b) Qual era o nmero de municpios, no Brasil, em 2005?
 c) Qual era o nmero de veculos que compunha a frota brasileira?
 d) Qual era a populao indgena brasileira nessa poca?

<p>
 3. Voc j sabe que o Brasil est dividido em 5 regies. Em quais delas o nmero de estados 
um quadrado perfeito? Justifique sua resposta.
<R->

               oooooooooooo

<100>
<p>
 Unidade 3

 Divisibilidade: Divisores e 
  Mltiplos

 O que h em comum entre os 
  nmeros que indicam os fatos

 Em 1906

<R+>
 _`[Foto do avio 14-Bis_`]
 Legenda: ... Santos Dumont voou com o 14-Bis, no Campo de Bagatelle, na Frana.

 Em 1908

 _`[Foto_`]
 Legenda: ... os primeiros imigrantes japoneses desembarcam no Brasil.

<p>
 Em 1912

 _`[Foto de jornal_`]
 Legenda: ... naufraga o trans-
  atlntico Titanic aps bater em um *iceberg*.
<R->

<101>
 Pra voc pensar, sem se cansar!

  Qual o maior resto
da diviso por 5?

<R+>
 Eratstenes, o filsofo grego que facilitou as nossas vidas
<R->

  Eratstenes nasceu em 276 a.C.
  Um de seus grandes feitos foi
medir o meridiano terrestre.

  Foi ele quem criou a primeira
tbua de nmeros primos.

<R+>
 _`[Tbua adaptada com os nmeros primos at 50_`]
 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47.
<R->
<L>
  *Primus* vem do latim e quer dizer primeiro.
  Sabendo disso, pense nas palavras:

 primitivo 
 primor
 primognito 
 primrdio

  Pensou?
  Ento, que tal pesquisar no dicionrio e
verificar o significado de cada uma delas?

 Animais em extino

  Os fatores que levam 
extino dos animais so vrios:
a caa, o comrcio ilegal e a
derrubada da mata, que causa
a falta de alimento e dificulta as
condies para a reproduo.

<p>
<R+>
 _`[Foto de um cervo-do-pantanal_`]
 Legenda: O perodo de gestao do cervo-do-pantanal  de 32 meses. Vive nas regies pantanosas
e ao longo das bordas das florestas do Brasil, Uruguai, Paraguai e Guianas. O cervo-do-pantanal est ameaado de extino 
principalmente por ser alvo dos caadores, que caam o animal para vender a galhada e o couro no comrcio ilegal.
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<102>
 9 -- Noo de divisibilidade

 Explorando

<R+>
 1. Considere o nmero 36.
 a) Quantas vezes o 2 cabe em 36? 
 b) E o 3, quantas vezes cabe em 36? 
 c) Quantas vezes o 4 cabe em 36? 
 d) E o 6, quantas vezes cabe em 36? 
 e) Quantas vezes o 12 cabe em 36?
 f) E o 18, quantas vezes cabe em 36?
 g) E o 36?
 h) E o 1, cabe quantas vezes em 36?
<R->

  Os nmeros que cabem
um nmero exato de vezes
em outro so chamados
divisores desse nmero.

<R+>
 2. Considere, agora, o nmero 23.
 a) Quantas vezes o 1 cabe nesse nmero?
 b) E quantas vezes o 23 cabe nesse nmero?
 c) Que outros nmeros cabem um nmero exato de vezes em 23?

 3. De 1 a 12, encontre todos os nmeros que cabem um nmero exato de vezes em 12.
 4. De 1 a 13, encontre todos os nmeros que cabem um nmero exato de vezes em 13.

 5. Encontre todos os divisores de:
 a) 15 
 b) 25 
 c) 19 
 d) 30

 6. Observe.

<F->
2 forma 1 par. O 2 cabe exatamente uma vez em 2.

 !:::::::
 l o o _ 
 h:::::::j

3 forma 1 par, e sobra 1. O 2 no cabe um nmero exato de vezes em 3.

 !:::::::
 l o o _ o
 h:::::::j

<p>
4 forma 2 pares. O 2 cabe exatamente duas vezes em 4.

 !::::::: !:::::::
 l o o _ l o o _
 h:::::::j h:::::::j

5 forma 2 pares, e sobra 1. O 2 no cabe um nmero exato de vezes em 5.

 !::::::: !:::::::
 l o o _ l o o _ o
 h:::::::j h:::::::j

6 forma 3 pares. O 2 cabe exatamente trs vezes em 6.

 !::::::: !::::::: !:::::::
 l o o _ l o o _ l o o _
 h:::::::j h:::::::j h:::::::j
<F+>
<R->

  Agora, sem fazer contas, responda no caderno: Quais dos nmeros a seguir so divisveis
por 2, ou seja, em quais desses nmeros o 2 cabe um nmero exato de vezes?
 a) 20 
 b) 15 
 c) 21 
 d) 18 
 e) 264 
 f) 1.000 
 g) 2.001 
 h) 375

 o Justifique as suas concluses.

<R+>
 7. Existe um nico nmero natural que  divisor de todos os outros. Pense e responda: Voc sabe
que nmero  esse?
<R->

<103>
  Considere as duas divises a seguir:

 605=12 resto 0.

  Como o resto  0, a diviso  exata.
  Ento, dizemos que 60  divisvel por 5 ou 5
 divisor de 60.

 615=12 resto 1.

  Como o resto  diferente de 0
(no caso, o resto  1), a diviso no  exata.
  Logo, 61 no  divisvel por 5 ou 5
no  divisor de 61.

  Agora, vamos acompanhar a seguinte situao:

  Um professor de Educao Fsica convocou
80 alunos para uma demonstrao de
ginstica. Ele pretende distribuir esses alunos
em grupos que tenham, no mnimo, 6 e, no
mximo, 10 alunos, sem que sobre aluno fora
dos grupos. Quais so as maneiras possveis
de formar esses grupos?

  Para resolver esse problema, dividimos 80 por 6, por 7, por 8, por 9 e por 10,
e consideramos apenas as divises exatas:

<p>
 806=13 resto 2
 807=11 resto 3
 808=10 resto 0 -- diviso 
  exata
 809=8 resto 8
 8010=8 resto 0 -- diviso 
  exata

  Observando as divises, voc  capaz de dizer quantos grupos e com quantos
alunos o professor poder formar esses grupos sem que sobre aluno fora dos grupos.
  Veja: como 80  divisvel por 8 e por 10, o professor pode formar 10 grupos de
8 alunos ou 8 grupos de 10 alunos.

<104>
 Exerccios

<R+>
 1. Verifique se:
 a) 109  divisvel por 3.
 b) 119  divisvel por 9.
 c) 202  divisvel por 11.
 d) 310  divisvel por 5.

<p>
 2. Quais dos seguintes nmeros so divisveis
por 9?
 37 -- 45 -- 54 -- 62 -- 72 -- 79 -- 81 -- 93 -- 99

 3. Verifique se 900  divisvel por:
 a) 15 
 b) 20 
 c) 25 
 d) 30 
 e) 40
 f) 60

 4. Considere o nmero 1.305 e responda:
 a) Ele  divisvel por 3?
 b) A soma dos algarismos que formam esse nmero
 divisvel por 3?

 5. Sabe-se que o maior nmero possvel divisvel
por 11 e menor que 300  dado por 300-r,
em que r representa o resto da diviso de 300
por 11. Assim, qual o maior nmero, menor que
300, que  divisvel por 11?
 6. O menino diz: "O nmero 518  divisvel por 37."
  Qual o prximo nmero natural divisvel por 37?

 7. Resolva as charadinhas:
 a) Qual  o menor nmero natural que se deve
subtrair de 719 para se obter um nmero divisvel
por 23?
 b) Qual  o menor nmero natural que se deve
adicionar a 706 para se obter um nmero divisvel
por 13?

 8. Dentre as afirmaes seguintes, quantas
so verdadeiras?
 a) Todos os nmeros naturais so divisveis por 1.
 b) Qualquer nmero natural diferente de zero 
sempre divisvel por 1 e por ele mesmo.
 c) O zero  o nico nmero natural divisvel por
todos os nmeros naturais, com exceo do 0.

<p>
 9. Qual  a idade de Slvio?
<R->

 _`[Slvio diz_`]
  "A minha idade 
um nmero natural, entre
40 e 50, que  Divisvel
por 6 e por 7 ao
mesmo tempo."

<R+>
 10. O campeonato nacional de futebol ser
disputado por 60 equipes. A entidade organizadora
pretende formar grupos que tenham o
mesmo nmero de equipes com, no mnimo,
10 e, no mximo, 15 equipes em cada grupo.
Quais so as maneiras possveis de formar esses
grupos?
<R->

 Encontrando o resto com a 
  calculadora

  Use uma calculadora para refazer as divises apresentadas no incio desse tema.

 605 
 615

  No caso da diviso exata, o quociente 12 aparece no visor.
  E na outra diviso, aparece o nmero 12 ou um nmero com vrgula ou ponto, prximo
de 12? Aparece o resto da diviso no visor? 

<105>
  Da relao fundamental da diviso:

 dividendo = divisor  quociente + 
  resto

  Conclumos que:

 resto = dividendo - divisor  
   quociente

  Ento, na diviso 615=12 resto 1, temos: resto =61-512=1.

<p>
  Usando a calculadora:

<R+>
 o para obter o quociente 

 _`[{sequncia de teclas seguida do resultado no visor: 915=12,2_`]
<R->

  O 12, que  o quociente natural,
aparece no visor  esquerda do
ponto, e o resto 1 no aparece.

<R+>
 o para obter o resto

 _`[{sequncia de teclas seguida do resultado no visor: 512 M-61M+M{r_`]

 Chegou a sua vez!

 1. _`[{use a calculadora_`] Obtenha o resto das divises:
 a) 425 
 b) 435 
 c) 445 
<p>
 d) 455 
 e) 465

 2. Copie a tabela seguinte no seu caderno. Complete-a, corretamente, usando uma calculadora.

 _`[Tabela adaptada_`]
 1 coluna: Dividendo
 2 coluna: Divisor
 3 coluna: Quociente
 4 coluna: Resto

 !:::::::::::::::::::::::
 l 1    _ 2 _ 3 _ 4 _
 r::::::::w:::::w:::::w:::::w
 l 518   _ 16 _ ... _ ... _
 r::::::::w:::::w:::::w:::::w
 l 259   _ 8  _ ... _ ... _
 r::::::::w:::::w:::::w:::::w
 l 1.036 _ 32 _ ... _ ... _
 h::::::::j:::::j:::::j:::::j

 3. Usando uma calculadora, calcule o resto da diviso de 56.373 por 236.
<R->

<p>
 Desafio!

  Convide um colega e descubra quantos exerccios de Matemtica Joo resolveu hoje.

 _`[Joo diz_`]
  "Contando de 2 em 2 sobra 1. Contando de 3 em 3, sobra 1. Contando de 5 em 5, sobra 1.
Contando de 7 em 7, no sobra nenhum!"

  Sabendo que o total de exerccios ultrapassa 50, mas no chega a 100, quantos exerccios Joo
resolveu?

               ::::::::::::::::::::::::

<106>
<p>
 10 -- Critrios de 
  divisibilidade

 _`[A professora diz_`]
  "Sem usar a calculadora, efetue as divises.
  69.534  divisvel por 3?
  E 106.518  divisvel por 4?"

  Verificar a divisibilidade de um nmero natural por outro nmero natural usando o algoritmo
da diviso pode ser trabalhoso e demorado.
  Vamos conhecer uma maneira mais prtica de fazer essas verificaes?
  Os critrios de divisibilidade so condies que nos permitem saber se um nmero  ou
no divisvel por outro sem a necessidade de efetuarmos a diviso.
  Vamos, a seguir, conhecer alguns desses critrios.

<p>
 Divisibilidade por 2

  Veja a tabela seguinte.

 _`[Tabela adaptada_`]
 1 coluna: Dividendo
 2 coluna: Divisor
 3 coluna: Quociente
 4 coluna: Resto

 !::::::::::::::::::::
 l 1 _ 2 _ 3 _ 4 _
 r:::::w:::::w:::::w:::::w
 l 10 _ 2  _ 5  _ 0  _
 l 11 _ 2  _ 5  _ 1  _
 l 12 _ 2  _ 6  _ 0  _
 l 13 _ 2  _ 6  _ 1  _
 l 14 _ 2  _ 7  _ 0  _
 l 15 _ 2  _ 7  _ 1  _
 l 16 _ 2  _ 8  _ 0  _
 l 17 _ 2  _ 8  _ 1  _
 l 18 _ 2  _ 9  _ 0  _
 l 19 _ 2  _ 9  _ 1  _
 h:::::j:::::j:::::j:::::j

<p>
 _`[O menino diz_`]
  "Observando a tabela, est fcil perceber que os nmeros divisveis por
2 so: 10, 12, 14, 16 e 18."
 
  Um nmero ser divisvel por 2 se terminar em 0, 2, 4, 6, 8..., isto , quando for par.

<107>
  Assim:
<R+>
 o 7.206  divisvel por 2, pois termina em 6, ou seja,  par.
 o 5.483 no  divisvel por 2, pois no  par.
<R->

 Divisibilidade por 3

  Verificar se 62.124  divisvel por 3.
  Fazendo a diviso:

 62.1243=20.708 resto 0.
 20.708 :>  divisvel por 3.

  Vamos conhecer uma outra forma de verificar se 62.124  divisvel por 3.
  Primeiro adicionamos os algarismos de 62.124 e, em seguida, dividimos a soma por 3.

 6+2+1+2+4=15
 153=5 resto 0.

  Observe que as duas divises so exatas.
  Como esse fato se repete sempre que a diviso de um nmero natural por 3 for exata
dizemos que:

  Um nmero ser divisvel por 3 quando a soma dos seus
algarismos for um nmero divisvel por 3.

  Assim:
<R+>
 o 7.092  divisvel por 3, pois 7+0+9+2=18, e 18  divisvel por 3.
 o 6.413 no  divisvel por 3, pois 6+4+1+3=14, e 14 no  divisvel por 3.
<R->

<p>
 Divisibilidade por 6

  Considere o nmero natural 3.624.
  Esse nmero  divisvel por 2, pois termina em 4. E tambm  divisvel por 3, pois
3+6+2+4=15, e 15  divisvel por 3.

  Observe, agora, a diviso:

<R+>
 3.6246=604 resto 0. A diviso  exata: o nmero 3.624  divisvel por 6.
<R->

  Como esse fato sempre se repete, dizemos que:

  Um nmero ser divisvel por 6 quando for divisvel por 2 e por 3 ao mesmo tempo.

<R+>
 o 1.632  divisvel por 6, pois  divisvel por 2 e por 3 ao mesmo tempo.
<p>
 o 4.430 no  divisvel por 6, pois, embora seja divisvel por 2, no  divisvel por 3.
<R->

<108>
 Divisibilidade por 4

  Observe as divises:

 1004=25 resto 0
 1.3004=325 resto 0
 11.7004=2.925 resto 0

  Todos os nmeros terminam em 00 e so divisveis por 4.

 1.7284=432 resto 0
 284=7 resto 0
 3.8284=957 resto 0
 5.1324=1.283 resto 0
 324=8 resto 0
 1.5324=383 resto 0

  O resto de cada uma dessas divises  igual a zero.

<p>
  Como esse fato se repete sempre que a diviso de um nmero natural por 4 for exata,
dizemos que:

  Um nmero natural ser divisvel por 4 quando terminar em 00 ou quando o nmero formado por seus dois ltimos algarismos da direita for divisvel por 4.
 
<R+>
 o 500  divisvel por 4, pois termina em 00.
 o 1.380  divisvel por 4, pois 80  divisvel por 4.
 o 4.526 no  divisvel por 4, pois 26 no  divisvel por 4.
<R->

 Divisibilidade por 8

  Observe as divises:

 1.0008=125 resto 0
 13.0008=1.625 resto 0
 115.0008=14.375 resto 0

  Todos os nmeros terminam em 000 e so divisveis por 8.

<109>
 3.1128=389 resto 0
 1128=14 resto 0
 4.1128=514 resto 0
 27.8408=3.480 resto 0
 8408=105 resto 0
 34.8408=4.355 resto 0

  O resto de cada uma das divises  igual a zero.

  Um nmero ser divisvel por 8 quando terminar em 000 ou quando o nmero
formado por seus trs ltimos algarismos da direita for divisvel por 8.

<R+>
 o 3.000  divisvel por 8, pois termina em 000.
 o 7.520  divisvel por 8, pois 520  divisvel por 8.
 o 34.118 no  divisvel por 8, pois 118 no  divisvel por 8.
<R->

<p>
 Divisibilidade por 9

  Vamos verificar se 28.314  divisvel por 9?

 28.3149=3.146 resto 0

  O algoritmo da diviso nos mostra que 28.314  divisvel por 9.
  Uma outra forma de verificar isso  adicionarmos os algarismos do nmero 28.314 e, em
seguida, efetuarmos a diviso dessa soma por 9.

 2+8+3+1+4=18
 189=2 resto 0

  Um nmero natural ser divisvel por 9 quando a soma
dos seus algarismos for um nmero divisvel por 9.

<R+>
 o 6.408  divisvel por 9, pois 6+4+0+8=18, e 18  divisvel por 9.
<p>
 o 27.319 no  divisvel por 9, pois 2+7+3+1+9=22, e 22 no  divisvel por 9.
<R->

<110>
 Divisibilidade por 5

  Observando os nmeros naturais divisveis por 5 (0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, ...), dizemos que:

  Um nmero natural ser divisvel por 5 quando terminar em 0 ou 5.

<R+>
 o 42.020  divisvel por 5, pois termina em 0.
 o 6.045  divisvel por 5, pois termina em 5.
 o 21.237 no  divisvel por 5, pois no termina nem em 0 nem em 5.
<R->

<p>
 Divisibilidade de 10

  Observando os nmeros naturais divisveis por 10 (0, 10, 20, 30, 40, 50, ...,), dizemos que:

  Um nmero natural ser divisvel por 10 quando terminar em 0.

<R+>
 o 11.500  divisvel por 10.
 o 4.203 no  divisvel por 10.

 Exerccios

 1. Existem seis nmeros de trs algarismos
que podem ser escritos com os algarismos 2, 5
e 9, sem repeti-los.
 a) Escreva esses nmeros no caderno.
 b) Quais deles so divisveis por 2?
 c) Quais deles so divisveis por 3?

<p>
 2. O dimetro da Terra  12.756 quilmetros.
12.756  divisvel por:
 a) 2?
 b) 3?
 c) 4?
 d) 5?
 e) 6?
 f) 8?

 3. Observe este nmero:

 5.nja

 Agora, responda no caderno:
 a) Se voc colocar 0 no lugar de n, o nmero
ser divisvel por 9?
 b) Qual  o menor algarismo que voc deve colocar
no lugar de n para que esse nmero fique
divisvel por 9?

<p>
 4. Observe o nmero a seguir.

 403.02n

 a) Colocando 0 no lugar de n, o nmero ser
divisvel por:
 o 3? 
 o 4? 
 o 8?

 b) Qual o menor algarismo que deve substituir
n para que o nmero seja divisvel por 8?

 5. Usando apenas o 3 e o 0, escreva oito nmeros
de quatro algarismos e entre eles identifique:
 a) os que so divisveis por 4.
 b) os que so divisveis por 8.

 6. Descubra qual  o nmero entre 50 e 60 divisvel
ao mesmo tempo por 2, 3 e 6.

<p>
 7. Considere os nmeros 3.25d e 7.0b3.
 a) Qual o menor valor que se pode atribuir  d
para que 3.25d seja divisvel ao mesmo tempo
por 2 e por 3?
 b) Qual o menor valor que se pode atribuir  b
para que 7.0b3 seja divisvel por 9?

<111>
 Brasil Real

 wr Histria

 1. O ano de 1901 foi o primeiro do sculo XX, e 2001 foi o primeiro ano do sculo XXI.
 a) No perodo de 1901 a 2001, cite pelo menos cinco anos indicados por nmeros divisveis por 3.
 b) Veja, a seguir, alguns fatos que ocorreram no sculo XX no Brasil. Aponte quais deles ocorreram
em anos indicados por nmeros divisveis por 3.

 _`[Trs fotos seguidas por legenda_`]
 Legenda 1: Em 1960 Bralia tornou-se a capital do Brasil.
 Legenda 2: Em 1908 os primeiros imigrantes japoneses desembacaram no Brasil.
 Legenda 3: Em 1980 Pel foi eleito o atleta do sculo.

 Fonte: ~,www.portalbrasil.~
  eit.br~, Acesso em 7 dez. 2006.

 wr Cincias

 2. Na fauna da Mata Atlntica encontramos cerca de 250 espcies de mamferos,
1.050 de aves, 197 de rpteis, 340 de anfbios e 350 de peixes. Algumas dessas espcies so
encontradas apenas na Mata Atlntica. Esse  o caso de 55 das espcies de mamferos, 188
das espcies de aves, 60 das espcies de rpteis, 90 das espcies de anfbios e 133 das espcies
de peixes. Apesar dessa riqueza de espcies, a situao  bastante grave, pois das 202 espcies
de animais ameaados de extino no Brasil, 171 se encontram na Mata Atlntica.
 a) Dos nmeros que aparecem no texto, quais so divisveis
por 6?
 b) Quantos nmeros do texto so divisveis por 10?
 c) Sabendo que um nmero  divisvel por 12 quando ele
 divisvel por 3 e por 4 ao mesmo tempo, quais so os
nmeros divisveis por 12 que aparecem no texto?
 d) Quais so os nmeros divisveis por 9 que aparecem
no texto?

 Fonte: ~,www.sosmatatlantica.~
  org.br~, Acesso em: 23 out. 2006.
<R->

<112>
<p>
 Tratando a informao

 Estatstica
 
  Tudo o que vimos at aqui no Tratando a informao foi aprender a reunir, organizar e
interpretar um conjunto de dados, geralmente organizados em tabelas, para tirar concluses
ou fazer previses a respeito de
determinado fato.
  Para apresentar essas concluses,
utilizamos as tabelas e os
grficos.

<p>
 _`[{grfico adaptado_`]
 *A cor preferida*

 Legenda:
 vermelho: vm
 amarelo: am
 azul: az
 laranja: la
 lils: li

<F->
n.o de alunos
    l
 9 pcccccc
 8 pcc  
    l    
    l    
 5 pcccccccc
    l        
 3 pcccccccccc
    l          
    l          
 #j h::gg::gg::gg::gg::gg cores
       vm  am  az  la  li     
<F+>

<p>
<R+>
<F->
_`[Grfico adaptado_`] 
*Nmero de medalhas conquistadas pelo Brasil*

2008
  Pequim -- 15
2004
  Atenas -- 10
2000
  Sidney -- 12
1996 
  Atlanta -- 15
1992   
  Barcelona -- 3
1988
  Seul -- 6
1984
  Los Angeles -- 8
1980
  Moscou -- 4
1976
  Montreal -- 2
1972
  Munique -- 2
<p>
1968
  Mxico -- 3
1964
  Tquio -- 1
<F+>

 Fonte: ~,www.cob.org.br~, 
  Acesso em: 13 out. 2008.
<R->

  A esse conjunto de procedimentos damos o nome de Estatstica.

 Um fenmeno estatstico: o estudo 
  de mdias

  Quando pretendemos estudar um fenmeno estatisticamente, recorremos a certos valores que
representam, de forma precisa, como se d a distribuio dos dados relativos a esse fenmeno. Um
desses valores  a mdia aritmtica.
  Acompanhe a situao a seguir.
  As idades dos jogadores titulares de uma equipe de basquete so: 25 anos, 27 anos, 22 anos,
30 anos e 31 anos. Qual  a idade 
<p>
mdia dos jogadores titulares dessa equipe?

  Para resolver esse problema, devemos fazer: ?25+27+22+30+31*5=1355=
  =27

  Ento, a idade mdia dos jogadores titulares dessa equipe  27 anos.
  O nmero 27  chamado de mdia aritmtica dos nmeros 25, 27, 22, 30 e 31.
  Assim, podemos escrever:

  A mdia aritmtica de n nmeros representa a soma de todos os nmeros, dividida por n.

<p>
<R+>
 Chegou a sua vez!

 1. A livraria *Por dentro do Assunto* vendeu a seguinte
quantidade de livros em certa semana.

 Vendas da semana

 !::::::::::::::::::::::::
 l Dia      _ Quantidade _
 l           _  de livros  _
 r:::::::::::w:::::::::::::w
 l 2-feira _ 13         _
 r:::::::::::w:::::::::::::w
 l 3-feira _ 23         _
 r:::::::::::w:::::::::::::w
 l 4-feira _ 22         _
 r:::::::::::w:::::::::::::w
 l 5-feira _ 27         _
 r:::::::::::w:::::::::::::w
 l 6-feira _ 22         _
 r:::::::::::w:::::::::::::w
 l sbado    _ 25         _
 h:::::::::::j:::::::::::::j

<p>
 Qual foi a mdia
diria de livros
vendidos durante
essa semana?

 2. Karina comprou 5 presentes, pagando por
eles respectivamente 12, 5, 29, 13 e 11 reais. Em
mdia, quanto ela pagou por cada presente?
 
 3. A mdia anual mnima de aprovao na escola
de Caio, dada pela mdia aritmtica das notas
bimestrais,  6. Caio j tem as notas 5, 8 e 8.
 a) Qual  a soma mnima de notas bimestrais
para aprovao?
 b) Qual  a nota mnima que Caio necessita no
4 bimestre para ser aprovado?
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<113>
<p>
<R+>
 11 -- Divisores, fatores e 
  mltiplos de um nmero natural

 Explorando

 1. Nestas multiplicaes o produto  10.

 110=10
 1 e 10 -- fatores
 10 -- produto

 25=10
 2 e 5 -- fatores
 10 -- produto

 Quais so os fatores de 10? (Ou seja, nmeros que multiplicamos para obter o produto 10.)

 2. Quais so os divisores de 10?
 3. Comparando os resultados obtidos nos exerccios 1 e 2, o que voc observa?
<p>
 4. Escreva no caderno todas as multiplicaes cujo produto  20.
 5. Descubra quais so todos os divisores de 20.
 6. Observe todos os fatores de 20 e tambm todos os seus divisores. Voc pode afirmar que
todos os fatores de 20 so tambm divisores de 20?

 7. Determine todos os possveis produtos de dois nmeros naturais cujo resultado seja:
 a) 22 
 b) 60 
 c) 17

 8. Escreva, agora, os divisores de:
 a) 22 
 b) 60 
 c) 17

 9. Observe os exerccios 7 e 8 e escreva uma concluso a respeito.
<R->

  Voc observou como podemos descobrir os fatores ou os divisores de um nmero
natural?
  Acompanhe estas outras situaes:

<R+>
 1- Quais so os fatores de 30?
 130=30 
 215=30 
 310=30 
 56=30

 Os fatores de 30 so 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 e 30.

 Como todos os fatores de um nmero so tambm seus divisores, podemos determinar
os divisores naturais de um nmero por meio de multiplicaes.
 Ento, o conjunto dos divisores de 30 :

 D(30)=~l1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30_,

<114>
<p>
 2- Quais so todos os divisores naturais de 24?

 124=24
 212=24
 38=24
 46=24

 Ento, o conjunto dos divisores de 24 : D(24)=~l1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24_,
<R->

  Observe que qualquer nmero natural, com exceo do 0, tem como divisores o nmero 1 e ele prprio.

 Quando um nmero  mltiplo de 
  outro

  A palavra mltiplo est ligada  operao multiplicao. Assim, quando queremos determinar
os mltiplos de um nmero natural, por exemplo do 4, multiplicamos o 4 pela sucesso
de nmeros naturais:

 40=0
 41=4
 42=8
 43=12
 44=16
 45=20
 46=24
 47=28
 48=32
 49=36
 ...

  O conjunto dos mltiplos naturais de 4 : M(4)=~l0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, ..._,
  E dessa forma obtemos o conjunto dos mltiplos de um nmero natural.
  Observe as divises nos cartes:

 427=6 resto 0
 76=42

 513=17 resto 0
 317=51

 1005=20 resto 0
 520=100

  Podemos dizer que:
 o 42  divisvel por 7. 
 o 51  divisvel por 3. 
 o 100  divisvel por 5.

  Pela relao fundamental da diviso, tambm podemos afirmar que:
 o 42  mltiplo de 7. 
 o 51  mltiplo de 3. 
 o 100  mltiplo de 5.

  Considerando as duas observaes, temos:

  Um nmero natural a ser mltiplo de um nmero natural b
diferente de zero, quando a for divisvel por b ou b for divisor de a.

<115>
<p>
  Exemplos:
<R+>
 o 132  mltiplo de 11, pois 132  divisvel por
11, conforme podemos verificar na diviso:

 13211=12 resto 0

 o 163 no  mltiplo de 11, pois 163 no 
divisvel por 11, conforme podemos verificar
na diviso:
<R->

 16311=14 resto 9

  Ser mltiplo de  o mesmo que ser divisvel por.

 Exerccios

<R+>
 1. Verifique se 6  um divisor de:
 a) 26 
 b) 48 
 c) 72 
 d) 86

 2. Verifique se 92  mltiplo de:
 a) 4 
 b) 6 
 c) 8 
 d) 23

 3. Dentre os elementos do conjunto
A=~l2, 3, 5, 6, 8, 9, 10_, identifique os que so
divisores de:
 a) 14 
 b) 18 
 c) 25 
 d) 45 
 e) 54
 f) 70

 4. Quais so os divisores de 15 que tambm
so divisores de 25?

 5. Determine os divisores de:
 a) 14 que no so divisores de 35.
 b) 35 que no so divisores de 14.
 c) 14 que so, tambm, divisores de 35.
<L> 
 6. Qual a idade de Janete?
<R->

 _`[Janete diz_`]
  "A minha idade corresponde ao maior divisor par de 60, sem ser o 60."

<R+>
 7. Escreva no caderno os seis primeiros mltiplos
de 15.
 8. Qual  o maior mltiplo de 13, menor que
300?
 9. Qual  o menor mltiplo de 13, maior que
100?

 10. Na Olimpada de Matemtica da escola
onde estudo, cada grupo apresenta desafios ao
grupo adversrio. Veja se consegue resolv-los.
 a) Qual  o nmero natural que  mltiplo de 2 e maior que 200?
 b) O que , o que ? Um nmero
natural divisvel por 2 e 3, maior que 30
e menor que 40?
 c) Que nmero natural  mltiplo de
todos os nmeros?
<p>
 d) Voc sabe dizer quais nmeros naturais
menores que 8 so mltiplos de 2 e
de 4 ao mesmo tempo?
 e) Qual o maior resto da diviso por 5?
 f) Escreva dois nmeros naturais
menores que 500, mltiplos de 2 e de 3,
cada um com 3 algarismos iguais.

<116>
 11. Quantos mltiplos comuns de 3 e 5 h de
0 a 30?
 12. Dentre os mltiplos comuns de 3 e 5
que voc achou, qual o menor deles, diferente
de zero?

 13.  fcil saber quando um ano  bissexto
(fevereiro com 29 dias).  s verificar se o ano
 dado por um nmero divisvel por 4 ou, no
caso dos anos terminados em 00, se o nmero 
divisvel por 400.
<p>
 a) Quais dos anos a seguir so bissextos?

 2008 -- 2020 -- 2050 -- 2034 -- 3000

 b) A dcada de 1990 (de 1990 a 1999) teve quantos
anos bissextos?
 c) Escreva no caderno os anos bissextos das ltimas
duas dcadas. O que voc observa sobre
a ocorrncia deles?

 Desafios!

 1. Copie o esquema da cruzadinha no caderno e complete-a com um colega.

 Horizontais
 1. Mltiplo de 2 e de 3, menor que 10.
 3. Trs centos mais dois.
<p>
 4. Mltiplo de 11 e de 2, no qual o algarismo das dezenas  igual ao das centenas e o primeiro algarismo
 igual ao ltimo.
 9. Ele  mltiplo de todos os nmeros.

 Verticais
 1. Primeiro mltiplo de 5 maior que 64.
 5. Nmero em que o algarismo das unidades  o dobro do algarismo das centenas.
 6. Primeiro mltiplo de 5 maior que 400.
 7. Mltiplo de 11, maior que 800 e menor que 900.
 8. Considerando os mltiplos de 5, na ordem crescente, ele  o quinto mltiplo.

<p>
<F->
   !:::                
1 l ? _ 5  6  7            
   r:::w:::::::::     
2 l ? _ ? _ ? _ ? _    
   h:::w:::w:::w:::w    
    3 _ ? _ ? _ ? _ 8   
       _:::w:::w:::w:::
    4 _ ? _ ? _ ? _ ? _
       :::j:::j:::w:::w
                9 _ ? _
                   :::j
<F+>

 o Utilizando as regras de divisibilidade, verifique se o nmero obtido em 2  divisvel por 2, 3, 4, 5,
6, 8, 9 e 10. Justifique sua resposta.

<117>
 2. Em grupo de dois a quatro jogadores, divirta-se com o jogo de domin. Primeiro,  necessrio
fazer as peas. Copie em cartolina ou papelo as 34 peas ilustradas a seguir. Combine com o grupo
a diviso de trabalho.
<R->

 15 mltiplo de 5
 5 divisor de 15

<F->
 !:::::::::: !:::::::::: 
 l 7  _ 15 _ l 5  _ 39 _ 
 h:::::j:::::j h:::::j:::::j 

 !:::::::::: !:::::::::: 
 l 13 _ 12 _ l 24 _ 50 _ 
 h:::::j:::::j h:::::j:::::j   

 !:::::::::: !:::::::::: 
 l 10 _ 11 _ l 22 _ 15 _ 
 h:::::j:::::j h:::::j:::::j 

 !:::::::::: !:::::::::: 
 l 30 _ 6  _ l 42 _ 20 _ 
 h:::::j:::::j h:::::j:::::j 
 
 !:::::::::: !:::::::::: 
 l 4 _ 18  _ l 2  _ 27 _ 
 h:::::j:::::j h:::::j:::::j 

 !:::::::::: !:::::::::: 
 l 3  _ 35 _ l 7  _ 54 _ 
 h:::::j:::::j h:::::j:::::j 

<p>
 !:::::::::: !:::::::::: 
 l 6  _ 27 _ l 3  _ 64 _ 
 h:::::j:::::j h:::::j:::::j 

 !:::::::::: !:::::::::: 
 l 8  _ 72 _ l 9  _ 14 _ 
 h:::::j:::::j h:::::j:::::j 

 !:::::::::: !:::::::::: 
 l 7  _ 30 _ l 15 _ 60 _ 
 h:::::j:::::j h:::::j:::::j 

 !:::::::::: !:::::::::: 
 l 10 _ 16 _ l 16 _ 35 _ 
 h:::::j:::::j h:::::j:::::j 

 !:::::::::: !:::::::::: 
 l 5  _ 48 _ l 12 _ 21 _ 
 h:::::j:::::j h:::::j:::::j 

 !:::::::::: !:::::::::: 
 l 3  _ 72 _ l 9  _ 70 _ 
 h:::::j:::::j h:::::j:::::j 

 !:::::::::: !:::::::::: 
 l 7  _ 28 _ l 4  _ 49 _ 
 h:::::j:::::j h:::::j:::::j 

 !:::::::::: !:::::::::: 
 l 7  _ 81 _ l 9 _ 56  _ 
 h:::::j:::::j h:::::j:::::j 

 !:::::::::: !:::::::::: 
 l 8  _ 32 _ l 2 _ 25  _ 
 h:::::j:::::j h:::::j:::::j 

 !:::::::::: !:::::::::: 
 l 5  _ 36 _ l 6  _ 3  _
 h:::::j:::::j h:::::j:::::j 

 !:::::::::: !:::::::::: 
 l 1  _ 45 _ l 5  _ 63 _ 
 h:::::j:::::j h:::::j:::::j 
<F+>

 Regras

<R+>
 1) As peas devem ser embaralhadas com os nmeros voltados para baixo e distribudas de maneira
que cada participante fique com 10 peas, no caso de dois jogadores por grupo ou com 5 peas,
no caso de quatro jogadores. As peas restantes ficam reservadas para compra.
<p>
 2) Joguem par-ou-mpar para ver quem vai comear. O primeiro jogador vira na mesa uma de suas
peas. Por exemplo:

<F->
 !:::::::::: 
 l 5  _ 39 _ 
 h:::::j:::::j 
<F+>

 3) O segundo jogador deve colocar uma pea que tenha um mltiplo ou divisor de um dos nmeros
indicado na 1 pea. Exemplo:

<F->
 !:::::::::: !:::::::::: 
 l 5  _ 39 _ l 7  _ 15 _ 
 h:::::j:::::j h:::::j:::::j 
<F+>

 (5  divisor de 15)

 4) Se um dos jogadores no tiver mltiplo ou divisor de uma das pontas da sequncia de peas da
mesa, ter de comprar peas ou, caso no haja pea para com-
<p>
  prar, ficar sem jogar uma rodada. 
 5) Vence o jogo quem primeiro ficar sem peas. No caso de no ser possvel continuar o jogo, vence
aquele que tiver a menor soma de nmeros. 
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<118>
<p>
 12 -- Nmeros primos

  Observe as tabelas a seguir.

<F->
 !::::::::::::::::::::::::::::::
 l Nmero _ Divisores          _
 r:::::::::w:::::::::::::::::::::w
 l   0    _ 1, 2, 3, 4, ... _
 r:::::::::w:::::::::::::::::::::w
 l   1    _ 1                  _
 r:::::::::w:::::::::::::::::::::w
 l   2    _ 1, 2              _
 r:::::::::w:::::::::::::::::::::w
 l   3    _ 1, 3              _
 r:::::::::w:::::::::::::::::::::w
 l   4    _ 1, 2, 4          _
 r:::::::::w:::::::::::::::::::::w
 l   5    _ 1, 5              _
 r:::::::::w:::::::::::::::::::::w
 l   6    _ 1, 2, 3, 6      _
 r:::::::::w:::::::::::::::::::::w
 l   7    _ 1, 7              _
 r:::::::::w:::::::::::::::::::::w
 l   8    _ 1, 2, 4, 8      _
 r:::::::::w:::::::::::::::::::::w
 l   9    _ 1, 3, 9          _
 h:::::::::j:::::::::::::::::::::j

 !::::::::::::::::::::::::::::::
 l Nmero _ Divisores          _
 r:::::::::w:::::::::::::::::::::w
 l   10   _ 1, 2, 5, 10     _
 r:::::::::w:::::::::::::::::::::w
 l   11   _ 1, 11             _
 r:::::::::w:::::::::::::::::::::w
 l   12   _ 1, 2, 3, 4, 6, _
 l         _ 12                 _
 r:::::::::w:::::::::::::::::::::w
 l   13   _ 1, 13             _
 r:::::::::w:::::::::::::::::::::w
 l   14   _ 1, 2, 7, 14     _
 r:::::::::w:::::::::::::::::::::w
 l   15   _ 1, 3, 5, 15     _
 r:::::::::w:::::::::::::::::::::w
 l   16   _ 1, 2, 4, 8, 16 _
 r:::::::::w:::::::::::::::::::::w
 l   17   _ 1, 17             _
 r:::::::::w:::::::::::::::::::::w
 l   18   _ 1, 2, 3, 6, 9, _
 l         _ 18                 _
 r:::::::::w:::::::::::::::::::::w
 l   19   _ 1, 19             _
 h:::::::::j:::::::::::::::::::::j
<F+>

<p>
  Note que:
<R+>
 o O 1 tem apenas um divisor: o prprio 1.
 o Todo nmero natural diferente de zero  divisvel por 1 e por ele mesmo.
 o H nmeros que so divisveis apenas por 1 e por eles mesmos, como: 2, 3, 5, 7, 11, 13,
17 e 19.
 o H nmeros que, alm do 1 e deles mesmos, possuem outros divisores, como: 4, 6, 8, 9,
10, 12, 14, 15, 16 e 18.
 o O zero tem infinitos divisores.
<R->

  Um nmero que possui apenas dois divisores naturais distintos
(o nmero 1 e ele mesmo)  denominado nmero primo.

  Assim, os nmeros 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 e 19 so exemplos de nmeros primos.
  A sucesso dos nmeros primos  infinita, ou seja, existem infinitos nmeros primos.
  Os nmeros naturais que possuem mais de dois divisores distintos so chamados
nmeros compostos. Assim, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16 e 18 so nmeros compostos.

  Observaes:
<R+>
 o O nmero 1 no  primo nem composto.
 o O nico nmero natural par que  primo  o 2.
<R->

<119>
 O crivo de Eratstenes

  O grego Eratstenes (276-194 a.C.) montou
a primeira tbua de nmeros primos.
  Para achar os primos at 1.000, basta comear
eliminando o 1. A seguir, elimine os mltiplos
de 2, exceto o 2, depois os de 3, exceto o 3, e
assim por diante at 31.
  Quando tiver riscado os mltiplos de 31 pode
parar: voc j achou todos os nmeros primos!
  Que tal voc montar uma tbua de nmeros
primos at 50? Escreva os nmeros de 1 a 50 e
siga o procedimento descrito acima.

<R+>
 _`[Tbua adaptada com os nmeros primos at 50_`]
 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 e 47.
<R->

  O nmero 1 no  primo, pois tem apenas um divisor natural, que  ele mesmo.

  Reparou que o 2  o nico nmero par que  primo?

 Como reconhecer outros nmeros 
  primos?

  *Primus*  uma palavra latina que significa primeiro e nico. Ela foi escolhida para denominar
o grupo dos nmeros naturais divisveis apenas por si mesmos e por 1. Se um nmero
natural no for primo, ele ser chamado nmero composto, ou seja, poder ser dividido por
outros nmeros.

  Vamos aqui usar uma regra que permitir dizer quando um nmero natural dado  ou
no um nmero primo. Veja:
<R+>
 o Dividimos o nmero dado pelos nmeros primos menores que ele, at obter um quociente
menor ou igual ao divisor.
 o Se nenhuma das divises efetuadas for exata, o nmero ser primo.
 o Se qualquer das divises for exata, o nmero no ser primo.

  Acompanhe as verificaes:
 1- O nmero 173  um nmero primo?
  Aplicando os critrios de divisibilidade, 173 no  divisvel por 2, nem por 3, nem por 5.
  Prosseguindo as divises:

<p>
 1737=24 resto 5
 17311=15 resto 8
 17313=13 resto 4 
 13 :> quociente igual ao divisor

 O nmero 173  primo.

<120>
 2- E o 401,  um nmero primo?
  Aplicando os critrios de divisibilidade, 401 no  divisvel por 2, nem por 3, nem por 5.
  Prosseguindo as divises:

 4017=57 resto 2
 40111=36 resto 5
 40113=30 resto 11
 40117=23 resto 10 
 40119=21 resto 2 
 40123=17 resto 10 
 17 :> quociente menor que o divisor

 O nmero 401  primo.

<p>
 3- Vamos verificar se 493  primo.
  Aplicando os critrios de divisibilidade, 493 no  divisvel por 2, nem por 3, nem por 5.
  Prosseguindo as divises:

 4937=70 resto 3
 49311=44 resto 9
 49313=37 resto 12
 49317=29 resto 0

 O nmero 493 no  primo, pois  divisvel por 17, alm de ser divisvel por 1 e por
ele mesmo.

 Exerccios

 1. Lembra-se do Crivo de 
  Eratstenes que voc
montou? Use-o para responder s questes:
 a) Quantos so os nmeros primos menores
que 50?
 b) Uma vila teve casas numeradas de 30 a
50. Quantas foram numeradas com nmeros
primos?
 c) Qual o sculo em que estamos? O nmero que
representa esse sculo  um nmero primo?

 2. Em um torneio de futebol, uma equipe somou
91 pontos no final do campeonato. O nmero que
aparece na informao  um nmero primo?

 3. O valor numrico de cada expresso a seguir
 primo?
 a) 26+3 
 b) 42+52 
 c) 472-372-232

 4. Verifique quais dos nmeros a seguir so
primos.

 47 -- 51 -- 69 -- 83 -- 91 -- 97 -- 39 -- 24 -- 99

 5. Quais dos seguintes nmeros so primos?
 a) 131 
 b) 253 
<p>
 c) 211 
 d) 391

 6. A figura tem um "segredo". Descubra esse
"segredo" e responda:
 a) Qual nmero deve ser colocado
no quadrado amarelo?
 b) Esse nmero  primo?

<F->
Legenda:
 -- representa o quadrado 
  amarelo

          !:::::
          l_
       !::h::::j::
       l ''' _ ''' _
    !:::h:::j::::j::
    l 63 _ 47 _ 38 _  
 !::h::::j::::j::::j::
 l 33 _ 30 _ 17 _ 21 _ 
 h:::::j:::::j:::::j:::::j
<F+>

<121>
<p>
 Brasil Real

 wr Cincias

 1. Leia para conhecer mais!

 _`[Foto 1: um avestruz_`]
 Legenda: Os avestruzes so considerados a maior espcie viva das
aves, podendo atingir cerca de 2 metros de altura. O avestruz
 uma ave no-voadora originria da frica. Um ovo mdio de
avestruz tem *15* centmetros de comprimento.

 _`[Foto 2: duas emas_`]
 Legenda: A ema, considerada a maior ave brasileira, tambm  uma
ave no-voadora. As emas pesam at *36* quilogramas e
medem cerca de 1,70 metro.

<p>
 _`[Foto 3: trs galos_`]
 Legenda: *Gallus gallus 
  domesticus*  o nome cientfico da espcie da qual fazem
parte os galos e as galinhas, que podem medir, respectivamente, 70 e 50
centmetros de comprimento. Tm-se notcias que a expedio de Martim
Afonso de Souza trouxe as primeiras galinhas ao Brasil em *1532*.

 Os nmeros destacados acima so primos? Por qu?

 wr Geografia

 2. O litoral brasileiro  banhado
pelo Oceano Atlntico e tem 7.367 quilmetros
de extenso. A soma dos algarismos desse
nmero  um nmero primo? Por qu?

<p>
 wr Cidadania

 3. A tabela mostra a quantidade
de terras indgenas no Brasil, em 2000.

<p>
 _`[Tabela adaptada_`]
 *Terras indgenas no Brasil (2000)*

 1 coluna: Regio
 2 coluna: Terras demarcadas
 3 coluna: Terras no-demarcadas

<F->
 pccccccccccccccccccccccc
 l 1a.       _ 2a.  _ 3a.  _
 r:::::::::::w::::::w::::::w
 l Norte    _ 175 _ 131 _
 r:::::::::::w::::::w::::::w
 l Nordeste _ 42  _ 25  _
 r:::::::::::w::::::w::::::w
 l Sudeste  _ 23  _ 5   _
 r:::::::::::w::::::w::::::w
 l Sul      _ 28  _ 33  _
 r:::::::::::w::::::w::::::w
 l Centro-  _ 31  _ 13  _
 l  -Oeste  _      _      _     
 v-----------#------#------#
<F+>

 Fonte: ~,www.ibge.gov.br~, 
  Acesso em: 16 jan. 2009.

<p>
 a) Observe a tabela e identifique os nmeros
primos que nela aparecem.
 b) O total de terras demarcadas  expresso por
um nmero primo? Explique sua concluso.

 wr Esportes

 4. Na final do torneio de voleibol
feminino da Olimpada de Pequim, em 2008,
o Brasil venceu os Estados Unidos por 3 *sets* a
1, conquistando a medalha de ouro olmpica.
  Veja o placar de cada *set* desse jogo:

<p>
 Olimpada 2008 -- Vlei 
  Feminino
  Brasil {" Estados Unidos

 !:::::::::::::::::::::::::::
 l *Set* _ Brasil _ Estados _ 
 l        _         _ Unidos  _
 r::::::::w:::::::::w::::::::::w
 l 1    _ 25     _ 15      _
 r::::::::w:::::::::w::::::::::w
 l 2    _ 18     _ 25      _
 r::::::::w:::::::::w::::::::::w
 l 3    _ 25     _ 13      _
 r::::::::w:::::::::w::::::::::w
 l 4    _ 25     _ 21      _
 h::::::::j:::::::::j::::::::::j

 Fonte: *Folha de S. Paulo*, So Paulo, 24 ago. 2008.

 Dentre os nmeros que expressam o placar
de cada *set*, quantos so nmeros primos?
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<122>
<p>
 13 -- Decomposio em fatores 
  primos

  Vamos escrever alguns nmeros naturais compostos como uma multiplicao de dois
fatores primos.

 4 -- 22 
 4=22
 22 :> produto de fatores primos

 6 -- 23
 6=23
 23 :> produto de fatores primos

 10 -- 25
 10=25
 25 :> produto de fatores primos

  Usando o mesmo recurso, veja o que acontece com o nmero 30:

 30 -- 215
 15 -- 35
 30=235

<p>
 30 -- 310
 10 -- 25
 30=325

 30 -- 56
 6 -- 23
 30=523

  Qualquer que seja a forma de escrever o 30 como uma multiplicao, encontramos os
mesmos fatores primos no final.

 30=235
 235 :> produto de fatores 
  primos

  Isso vale para qualquer nmero natural composto maior que 1.
  Podemos, ento, dizer que:

  Todo nmero natural no-primo maior que 1 pode ser escrito na forma de multiplicao
indicada, que  chamada forma fatorada completa, em que todos os
fatores so nmeros primos.

  Para chegar  forma fatorada completa de um nmero natural, fazemos uma decomposio
em fatores primos, que consiste em:
<R+>
 o dividir inicialmente o nmero dado por seu menor divisor primo;
 o dividir o quociente obtido por seu menor divisor primo;
 o repetir esse procedimento at obter o quociente 1.

<123>
  Acompanhe os exemplos a seguir:
 1- Como escrever 110 na sua forma fatorada completa?

<F->
110 _ 2
 55 _ 5 
 11 _ 11
  1 _
<F+>

 2  o menor divisor primo de 110
 5  o menor divisor primo de 55
 11  o menor divisor primo de 11

 Ento: 110=2511 :> todos os fatores so primos
  
 Assim, 2511  a forma fatorada completa de 110.

 2- Como decompor o nmero 315 em fatores primos?

<F->
315 _ 3
105 _ 3 
 35 _ 5
  7 _ 7
  1 _
<F+>

 3  o menor divisor primo de 315
 3  o menor divisor primo de 105
 5  o menor divisor primo de 35
 7  o menor divisor primo de 7 

 Ento: 315=3357 :> todos os fatores so primos
 315=3257 :> forma fatorada completa

<p>
 Exerccios

 1. Escreva na forma de multiplicao de dois
fatores primos os seguintes nmeros naturais:
 a) 46 
 b) 85
 c) 57
 d) 77

 2. Responda no caderno: quais das expresses
a seguir representam a fatorao completa do
nmero?
 a) 259 
 b) 32517 
 c) 243211
 d) 7211

 3. Observe a fala.
<R->

 _`[O professor diz_`]
  "Esta expresso representa a fatorao completa de um nmero natural?" 

 3411

 _`[O menino responde_`]
  "Sim!"

<R+>
 A resposta de Paulinho est correta? Se a resposta
estiver errada, qual seria a resposta correta?

 4. Escreva a forma fatorada completa de 112.
 5. Qual  o valor numrico da expresso (152+255)
  (32+1)? Escreva esse valor na
sua forma fatorada completa.

 6. Decomponha em fatores primos, ou seja,
escreva a forma fatorada completa de:
 a) 48 
 b) 50 
 c) 80 
 d) 99 
 e) 108 
 f) 132 
 g) 210 
 h) 180
 i) 234

 7. Qual  a forma fatorada completa do nmero
natural 1.000?
 8. A fatorao completa do nmero 1.200 
2a3b5c. Qual  o valor de a+b+c?
 9. Quando voc decompe 240 em fatores primos,
obtm 2x35. Quanto vale x?
 10. Ao decompor 1.620 em fatores primos,
voc obtm 22n5. Qual  o fator que voc
deve colocar no lugar de n para que a forma
fatorada represente o nmero 1.620?

 11. Escreva o nmero natural cuja forma fatorada
completa :
 a) 225112 
 b) 22713
 c) 3317

<124>
<p>
 Brasil real 

 wr Geografia/Cincias

 1. O Rio Grande do Sul  o Estado brasileiro
que apresenta a maior expectativa de vida.
Em 2005, essa expectativa era de 75 anos
aproximadamente. Como podemos escrever o
nmero 75 na sua forma fatorada completa?
<R->

  "Expectativa de vida" ou "esperana de vida" indica
quantos anos, em mdia, uma pessoa pode viver.
  Para se chegar a esse clculo, levam-se em conta os
nascimentos e mortes, o acesso  sade, educao,
cultura e lazer, alm das taxas de violncia, poluio
e situao econmica de uma populao.

<R+>
 2. A expectativa de vida varia de regio para regio, dependendo das condies de vida da populao
de determinado local. Veja o grfico de barras a seguir com dados levantados pela ONU
(Organizao das Naes Unidas), representando as expectativas de vida no mundo, por regies.

 _`[Grfico adaptado_`]
 Tendncias da expectativa de vida por regio (2002)

 Expectativa de vida ao nascer, em anos

 Coluna vermelha: 1965-1970
 Coluna azul: 2000-2005

 frica 
  1965-1970: 44
  2000-2005: 49
 sia
  1965-1970: 54
  2000-2005: 67
 Amrica Latina e Caribe
  1965-1970: 59
  2000-2005: 70
<p>
 Regies mais desenvolvidas
  1965-1970: 71 
   2000-2005: 76
 Mundo
  1965-1970: 56
  2000-2005: 65

 Fonte: ONU.

 a) O Brasil se localiza em qual das regies apontadas no grfico?
 b) Em cada regio h uma coluna vermelha e outra azul. O que indica cada uma das colunas?
 c) Que regio do mundo tem a menor expectativa de vida, segundo o grfico?
 d) D a forma fatorada completa dos nmeros que indicam a expectativa de vida em cada coluna
do grfico.

 3. No Brasil esto catalogadas 1.580 espcies de aves, das quais
650 so do pantanal mato-grossense. A arara-azul-
  -grande  uma
das aves dessa regio que, atualmente, est ameaada de extino.
  Existem cerca de 4.000 delas no pas e, nos ltimos 20 anos, mais
de 15 mil araras foram retiradas do Brasil.
 a) Expresse os nmeros que aparecem no texto em sua forma fatorada
completa.
 b) Pesquise: Por que a arara-azul-grande est ameaada de extino?

 _`[Foto de uma arara-azul-grande, legenda a seguir_`]
 Legenda: Alm da plumagem azul, a arara-azul-grande tem um anel amarelo
em torno dos olhos e uma faixa da mesma cor atrs do bico
inferior. Aos 3 anos a fmea dessa espcie torna-se madura 
<p>
  para a reproduo. Nascem dois filhotes por vez, num perodo de incubao
de cerca de 30 dias.

 Fonte: ~,www.projetobiosfera.~
  com.br~, Acesso em: 19 jan. 2009.

               xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxo

 Fim da Terceira Parte